多変量解析 主成分分析と因子分析とは?違いは?

多変量解析 主成分分析と因子分析とは?違いは?

 

ある結果に対して、結果に影響を与える因子が複数ある場合の影響度や予想式などを解析する方法のことを多変量解析と呼びます。

 

定量的なデータの重回帰分析や定性的なデータ(質的データ)の重回帰分析(数量化I類)を始めとして、他には主成分分析や因子分析、判別分析やクラスター分析などが挙げられます。

 

こちらのページでは、主成分分析と因子分析について解説しています。

 

・主成分分析と因子分析の概要、違いは?

 

・Excelを用いて主成分分析を行ってみよう

 

 

というテーマで解説しています。

 

 

主成分分析と因子分析の概要、違いは?

 

主成分分析と因子分析は似たような多変量解析方法であると一般的に考えられています。

 

そこで、両分析の概要、違いについて解説します。

 

主成分分析とは、多くののパラメータ(観測変数と呼びます)から少ない主成分に整理する方法と言えます。

 

簡単に言いますと、データを少なくまとめることが出来る方法と言えます。

 

例えば、ある製品を製造したとしてその製品が評価されるパラメータが製品のコスト、使用寿命、軽さ、デザインなどなどある中で、その製品に対する総合的な満足度が第一主成分、その製品の軽さが第二主成分であると新たな軸を作り、まとめることが主成分分析によりできます。

 

これに対して、因子分析ではまとめることの逆のこと、少ないデータがあり(上では総合的な満足度に対応など)そのデータを構成する因子は何があるかと見つけ出す方法と言えます。

 

簡単に言いますと、少ない大きなデータからデータを細かく分けることが出来る方法と言えます。

 

具体的な例を通して分析を行った方が理解できるため、以下でまず主成分分析を行ってみましょう。

 

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主成分分析の概要と具体例

 

それでは、主成分分析について下記の例を用いて実施していきましょう。

 

 

散布図にしますと以下のようになります。

 

 

主成分分析とは、以下の赤色のように大きな傾向である新たな軸をとることを指します。

 

この新たな軸が主成分を指し、そこからのばらつき(距離)の大きさにより各点の順位付けを行うようなイメージと言えます。

 

 

 

それでは、この主成分をどのように求めていくのかを解説します。

 

まず計算の簡略化のため、上述のよう2つのパラメータのみのデータで主成分分析を行います。

 

上のデータに z=a1x1 + a2x2 という、容量の値をx1とし、強度の値をx2とした際の各係数をa1、a2とし、各々の積の和をとった値を使用します。

 

そして主成分を求める場合はこのzの値の分散が最も大きくなるようなa1やa2の値を求めていきます

 

ここで、zの分散は (x1の分散)× a1^2 + (x2の分散)×a2^2 + (x1x2の共分散)a1a2 という式で表すことができます。

 

上述のx1、x2、x1x2の分散では、標本データから母集団のデータを予想する

 

 

 


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