コンデンサー

コンデンサーの合成

 

こちらのページでは高校物理における電磁気学の基本である

 

・コンデンサーの直列合成
・コンデンサーの並列合成

 

について解説しています。

 

コンデンサーの直列合成

コンデンサーは電荷をためることができる装置のことであり、
その貯められる電荷の量Qは、静電容量Cと電圧Vを用いて
 Q =CV
で表されます。

 

抵抗の合成と同様に、コンデンサーも合成して考えることができ、下図を用いて解説します。

 

まず、左図に着目し
・電池等の電源にかかる電圧がV[V]
・回路において電池の+極に近いコンデンサー1の静電容量をC1、 このコンデンサーにかかる電圧をV1
・もう一方のコンデンサー2の静電容量をC2、 このコンデンサーにかかる電圧をV2

 

 とします。 さらに、

 

・コンデンサー1にたまる正電荷の大きさを+Qとすると、閉回路において電気的に中性であるため、
 コンデンサー2にたまる負電荷の大きさは-Qとなります。
 同様にコンデンサー1にたまる負電荷の大きさは-Qとなり、
 コンデンサー2にたまる正電荷の大きさは+Qとなります。

 

 

 ここで、V = V1 + V2 が成り立ち、
 かつ Q = C1 V1 、 Q = C2 V2  ⇔ V1 = Q / C1 、 V2 = Q / C2 より
 V = Q ( 1 / C1 + 1 / C2 ) となります。

 

 

 

 

 

 次に右図に着目し、同様に成り立つ式を整理していくと、
 ここで、V = V合= Q / C合= Q ( 1 / C合 ) となります。

 

左図と右図で成り立つ式を比較すると、1 / C合 = (1 /C1 + 1 / C2 ) と導出できます。

 

抵抗を並列接続した場合、合成抵抗の逆数 = 各々の抵抗の逆数の和
 1 / R合 = (1 /R1 + 1 / R2 ) となっています。
 つまり、抵抗とコンデンサーでは、合成する際直列と並列で入れ替わることに注意しましょう。)

 

コンデンサーの並列合成

次に並列接続でコンデンサーを合成した場合を考えていきましょう。

 

電圧Vやコンデンサーの静電容量等の情報は下図の通りで、
見やすくするため省略します。

 

二つのコンデンサーを並列につないだ場合、コンデンサーにかかる電圧はVで同じであり、
たまる電荷の量がQ1、Q2と異なります。
 

 

そして、合成したコンデンサーと比較するため、比較できるパラメータである
電荷Qに着目します。
 
Q=CVの関係を用いると、 Q = V (C1 + C2)と表すことができます。
 
同様に、右図の合成したコンデンサーでは、Q = V C合と表すことができます。

 

よってこれらを比較することで C合 =  (C1 + C2) が成り立ちます。

 

 
 

さらに複雑である、直列と並列は混ざったコンデンサーの合成方法は、こちらで解説しています。

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