オイラーの公式と導出

オイラーの公式とは?eixとsinx,cosxとの関係

 

電気化学における解析を行う際にしばしば数学的な知識が必要な場合があります。

 

その中でも等価回路を考える際やシュレーディンガー方程式を導く際などに使用する

 

・オイラーの公式とは?

 

・テイラー級数とマクローリン級数

 

・exとeixのマクローリン級数

 

・sinxとcosxのマクローリン級数

 

・オイラーの公式の導出 eixとsinx、cosxとの比較

 

について解説します。

 

 

 

 

オイラーの公式とは?

オイラーの公式とはex = cosx + isinx という等式のことを指します。

 

 

 

この公式により、三角関数と複素数を含んだ複素関数を変換することができます。

 

 

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テイラー級数とマクローリン級数

それでは、このオイラー関数がどのように導出されていくかを解説していきます。

 

オイラーの公式を導出する前の前知識として、テイラー展開などで知られるテイラー級数の知識が必要です。

 

テイラー級数とは以下のような式で表される無限級数のことを呼びます。

 

 

 

そして、このテイラー級数の中でもa=0とした時の級数をマクローリン級数と呼び、以下の式で表されます。

 

 
テイラー級数の中ではこのマクローリン級数が最も一般的なものと言えるでしょう。

 

それでは、次にオイラーの関数で出てくる各関数にこのマクローリン級数を使用してみましょう!

 

 

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exとeixのマクローリン級数

まずはexのマクローリン級数を求めていきましょう。

 

すると以下のようなシンプルな多項式に置き換えることができます。

 

下では3項までを記載しています。

 

 

 

それでは次にオイラーの公式で出てくるeixについても同様に考えていきましょう。

 

 

 

と展開できます。

 

exやeixのマクローリン展開は科学的分野の解析での使用頻度が高いため、覚えておくと良いでしょう。

 

 

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sinxとcosxのマクローリン級数

次にオイラーの公式の右辺にも出てくる三角関数のマクローリン級数について考えていきましょう。

 

まずはsinxのマクローリン級数を考えます。

 

以下のように非常にシンプルな式に変形することができます。

 

 

 

 

 

つぎにcosxのマクローリン級数について同様に考えていきます

 


となります。

 

 

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オイラーの公式の導出 eixとsinx、cosxとの比較

最後に今まで求めてきたeixとsinx、cosx のマクローリン級数の比較をし、オイラーの公式を導出します。

 

eixのマクローリン級数の前半の項はcosxのマクローリン級数にあたり、後半の項はsinxのマクローリン級数にiをかけたものであることがわかります。

 

このことから eix = cosx + isinx となることがわかります。

 

 

 

 

 

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