シュレーディンガー方程式とは?波の式からの導出

シュレーディンガー方程式とは?波の式からの導出

 

電気化学において電子移動現象について理解することは必要不可欠です。

 

そして電子移動現象を理解するには、量子化学の基礎的な知識を理解する必要があり、このページでは、

 

 

・シュレーディンガー方程式とは?

 

・波の式からのシュレーディンガー方程式の導出

 

 

について解説しています。

 

 

 

シュレーディンガー方程式とは?

シュレーディンガ-方程式とは、ある粒子の波動関数φやエネルギーEなどの粒子の情報を算出するための方程式のことです。

 

言い換えますとこのシュレーディンガー方程式を立式し、式を解くことで上述のよう、ある粒子の波動関数やエネルギーEを求めることが出来るのです。

 

また、量子化学ではハイゼンベルグの不確定性原理により位置と運動量を同時に決めることができないために、期待値で議論する必要があります

 

つまり、シュレーディンガー方程式では期待値としての波動関数φやエネルギーEを求めていきます。

 

下記に、シュレーディンガー方程式の算出方法を解説していきます。

 

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波の式からのシュレーディンガー方程式の導出

シュレーディンガー方程式を立式するためには、波の基本式とド・ブロイの物質波の式を結びつけることが必要です。

 

まずは、高校物理でも学習する波の基本式について理解していきましょう。

 

波の基本式は一般的に以下の式で表すことができます。

 


このように、波は振幅Aで位相θ = mx-ntの三角関数で表すことが出来ます。

 

ここで、mx-ntにおいてmとnの詳細を考えていきましょう。

 

tを固定する場合とxを固定する場合を考える事でmとnを解きます。

 

 

tを固定してmを算出する

 

tを固定し、xをxからx+λと波長分だけ変化させますと、位相は2π分大きくなります(円で考えますと角度が変化していき一周ぐるっと回った状態にあたります)。

 

よって、元の式①mx-nt = θ と ②m(x+λ)- nt = θ+2π を連立させ解きますと、m = 2π /λとなります。

 

 

 

 

 

xを固定してnを算出する

 

xを固定し、tをtからt+Tと一周期分だけ変化させますと、nの前に負号が付いていることに気を付けて考えますと位相は2π分小さくなります(円で考えますと角度が変化していくと、こちらも一周ぐるっと回った状態にあたります)。

 

よって、元の式①mx-nt = θ と ②mx + n(t-T) = θ-2π を連立させ解きますと、t = 2π /Tとなります。

 

 

 

 

元の式に代入

 

そして上で求めたm,nを元の式に代入することで以下の変形後の波の式が導かれます。

 

 

 

 

シュレーディンガー方程式で扱いやすい形に変形

 

最後に、シュレーディンガー方程式として算出しやすい形に変形していきます。

 

まず、周期Tの逆数1/T=νと置換します。

 

そして、オイラーの公式と呼ばれる複素数と三角関数を変換する公式を適用することで、シュレーディンガー方程式に適用しやすい形に変形します。

 

 

 

波の式が変形できましたら、この式に対して微分することでシュレーディンガー方程式を導出していきます
(こちらのページで解説しています)。

 

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