井戸型ポテンシャルの問題とシュレーディンガー方程式の立式と解

井戸型ポテンシャルの問題

 

電気化学において電子移動現象について理解することは必要不可欠です。

 

そして電子移動現象を理解するには、量子化学の基礎的な知識を理解する必要があり、このページでは、

 

 

・井戸型ポテンシャルの問題

 

・シュレーディンガー方程式の立式

 

・シュレーディンガー方程式を解いた結果

 

 

について解説しています。

 

 

 

井戸型ポテンシャルの問題

量子化学の分野において井戸型ポテンシャルの問題と呼ばれる有名な問題があり、この問題を用いてシュレーディンガー方程式を立式、方程式を解いていきます。

 

シュレーディンガー方程式について理解することは、トンネル効果等の量子化学における重要な法則の一つを理解することに繋がるため、とても重要です。

 

この井戸型ポテンシャルの問題とは、一次元例えばx方向のみについて考えます。

 

0<x<Lの範囲において、質量mの粒子に対してシュレーディンガー方程式を立てるとします。

 

ここで位置エネルギーVを0<x<Lのい範囲では0、それ以外では無限大であり定常状態であると仮定します。

 

この条件を元に、シュレーディンガー方程式を立式、解いていきましょう。

 

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シュレーディンガー方程式の立式

 

粒子が持つ全エネルギーを算出する

 

シュレーディンガー方程式の導出時にも解説しましたが、まず粒子の全エネルギー、つまり運動エネルギーと位置エネルギーの合計を算出します。

 

位置エネルギーは0と仮定していますので、全エネルギーは運動エネルギーと同じです。

 

そして、運動エネルギーは1/2 mv2 = p2 / 2m と表すことができます。

 

 

 

 

運動量pを演算子に変換する

 

次に、運動量pを以下の演算子に置き換えます(シュレーディンガー方程式の導出のページで解説しています。)

 

 

すると、全エネルギー(今回は運動エネルギーに一致)は以下のように表すことができます。

 

そして、演算子で変換した後のこの式自体がハミルトニアン(ハミルトン演算子)となります。

 

 

 

 

定常状態のシュレーディンガー方程式に代入する

 

定常状態(エネルギーが時間に依存せず、同時に存在確率も時間に依存しない状態のこと)では、Eψ=Hψが成り立ち、この式の上のハミルトニアンを代入していきます。

 

すると今回の問題のシュレーディンガー方程式を算出することができます。

 

 

そして、シュレーディンガー方程式を立式しましたら、次はこの式を解いていきます。

 

 

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シュレーディンガー方程式を解いた結果

 

シュレーディンガー方程式を立式しましたら、次はこの微分方程式を解いていきます。

 

(※微分方程式の詳細の解法は、書籍や別サイト様を参考にしていただければ幸いです。)

 

上式の右辺で2回微分していることに着目します。

 

2回微分して元の関数と同じ形になる関数といえば、expの関数が思いつきます。
(自然現象など科学的な事柄はexp関数で表されることが多いです。)

 

 

こちらのページではこの一般解の記載までを解説しています。

 

この後の、境界条件や規格化による式変形は別途別ページにて記載予定です(現在工事中)

 

 

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