波の式を微分しシュレーディンガー方程式を導出

波の式を微分しシュレーディンガー方程式を導出

 

電気化学において電子移動現象について理解することは必要不可欠です。

 

そして電子移動現象を理解するには、量子化学の基礎的な知識を理解する必要があり、このページでは、

 

 

・波の式を微分しシュレーディンガー方程式を導出

 

・ド・ブロイの物質波の式の代入

 

・シュレーディンガー方程式の導出

 

 

について解説しています。

 

 

 

波の式を微分しシュレーディンガー方程式を導出

波の式をシュレーディンガー方程式立式のために扱いやすい形に変形したものは以下の通りです。
(変形の仕方はこちらのページに記載しています)

 

 

 

 

そして、この式をxとtについて、各々偏微分します。

 

 

 

ここまで変形できましたら、いよいよド・ブロイの物質波の式をこの波動関数を変形した式に適用していきます。

 

 

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ド・ブロイの物質波の式の代入

 

まず、上でxで偏微分した式に対して、ド・ブロイの物質波の式を用い、変形していきます。

 

結果を忘れても導出できるように、式の導出の仕方を理解していきましょう。

 

 

xで偏微分した後の式変形

 

 

 

δψ/δx = -2πiψ/λ に対して、λ = h/pを代入し、両辺に×ih/2π を行うことで、-ih/2π δψ/δx = p δψという式を導くことが出来ます

 

ここで、両辺を良く見比べますと、、-ih/2π δ/δx = p という等式が成り立っていることがわかります。
 

ここで、H ψ = A ψという式が成り立っていることになり、この時の波動関数ψのことを固有関数と呼びます。

 

そして、Hにあたるものを演算子と呼び、ある関数とある関数を結びつける変換するもののようなイメージです。
 
 

tで偏微分した後の式変形

 

 

δψ/δt = -2πiψ/λ に対して、ν = E/hを代入し、両辺に×ih/2π を行うことで、ih/2π δψ/δt = E δψという式を導くことが出来ます

 

上と同様に、両辺を良く見比べますと、、ih/2π δ/δt = E という等式が成り立っていることがわかります。

 

こちらも固有関数の関係を持っています。

 

ここまで式変形が進みましたら、シュレーディンガー方程式立式の最後の詰めです!

 

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シュレーディンガー方程式の導出

上にて各々の式を偏微分し、式変形することで波動関数を粒子のエネルギーや運動量の各々と結びつけることができました。

 

最後にこの式を一つにすることでシュレーディンガー方程式を立式することができます。

 

立式するために、質量mの粒子の運動を考えます。

 

質量mの運動におけるエネルギーEは運動エネルギーと位置エネルギー(Vとします)の合計ですので、 E = 1/2 mv2 + V = 1/2m p2 + Vとなります。
 
さらに、ih/2π δ/δt = Eであることを用いて、ih/2π δψ/δt = (1/2m p2 + V)ψとなります。
 
同様に-ih/2π δ/δx = p の式を代入し、h/2πを以下のまとめの記号を用いて表します。
 
式変形を加えることで、下まとめ最後の式のシュレーディンガー方程式が導出されます

 

 

 
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