【演習問題】レイノルズ数、ファニングの式とは?導出方法と計算方法【リチウムイオン電池材料の解析】

【演習問題】レイノルズ数、ファニングの式とは?導出方法と計算方法【リチウムイオン電池材料の解析】

 

当サイトのメインテーマであるリチウムイオン電池の性能として内部抵抗サイクル寿命フロート寿命特性、過充電を始めとした安全性などが挙げられます。

 

そして、上述の各パラメータに影響を与える電池の設計パラメータとして、電極の多孔度や電極を構成する活物質自体の多孔度や細孔径と呼ばれるものがあります。

 

さらに、細孔内の吸着や流体の移動現象を解析することがリチウムイオン電池の性能向上につながり、その解析を行う際に、化学工学、特に移動現象(流体力学)に考え方を使用する場合があります。

 

こちらでは化学工学における重要な用語であるレイノルズ数について解説しています。

 

・レイノルズ数(Re)とは?導出方法は?

 

・レイノルズ数(Re)の求め方は?【演習問題】

 

・ファニングの式とは?計算方法は?【演習問題】

 

 

というテーマで解説していきます。

 

 

レイノルズ数(Re)とは?導出方法は?

 

レイノルズ数とは以下で表される慣性力と粘性力の比を表した無次元数のことを指します。

 

良く円管内を流れる流体においてこのレイノルズ数を使用することが多く、層流になるか、乱流になるかの目安を示す値とも言えるでしょう。

 

Re = ρ u D / μ で表されます(Reはレイノルズ数、ρは流体の密度、uは流体の平均速度(流量/断面積)、Dは円管の直径、μは粘度)。

 

目安としてはReが2300以下では層流、2300~4000程度では層流と乱流が混じる領域、4000以上では乱流となることが知られています。

 

 

またレイノルズ数Reの導出方法については以下の通りです。

 

上述のよう、レイノルズ数は慣性力と粘性力の比という観点から導出していきます

 

また、単位面積当たりの流体の慣性力としては運動量に相当すると考えてよく、ρu^2となります。

 

また、単位面積当たりの流体の粘性力としては、ニュートン粘性の法則によりニュートン流体においてはμdu/dyという式が成り立ちます。円管内の速度と直径を考慮しますと、μ u/Dとなります。

 

よってRe=慣性力/粘性力=ρu^2 / (μ u/D) = ρ u D / μとなります。

 

 

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レイノルズ数(Re)の求め方は?【演習問題】

 

演習問題

 

レイノルズ数に慣れるためにも演習問題で実際にレイノルズ数を計算してみましょう。

 

直径0.02mの円管内を密度1g/cm^3である水が速度0.3m/s で流れているとします。

 

粘度が1mPa・sであるとしてReを計算しましょう。

 

 

解法

 

Re =ρuD / μ= 1000 kg/m^3 × 0.3m/s × 0.02m ÷ 1/1000 m・s/kg = 6000となり、乱流となることがわかります。

 

単位換算が複雑ですので、いくつか問題を解いて慣れると良いでしょう。

 

密度と比重の違いについてはこちらで解説しています

 

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ファニングの式(乱流でのファニングの式)とは?計算方法は?【演習問題】

 

配管内の流体などについて考える際に、レイノルズ数と同等に重要な式としてファニングの式というものがあります。

 

ファニングの式とは、「配管内などを流れる流体の圧力損失儕や摩擦損失」と「流速や配管の長さや内径など」の関係を表した式であり、以下の式で定義されます。

 

乱流による領域では以下のファニングの式で圧力損失を計算することが可能です(後程解説しますが、層流領域では式が異なります。まずは乱流でのファニングの式を考えていきましょう))。

 


また、ファニングの式中にある摩擦係数fは実験式であるブラシウスの式で算出することにしましょう(実験式であり、およそRe = 100000以下で成立するとされています)

 

 

 

実際にファニングの式を利用した計算問題を解き、どのように圧力損失や摩擦係数が算出されるか確認していきましょう。

 

(※レイノルズ数や以下の摩擦係数、摩擦損失、圧力損失などの機械的損失の計算には、複雑な単位換算があるためにミリ、マイクロ、ナノといったSI接頭後の変換をきちんとできるようにしましょう。)

 

例題
 
ある管の内径が50mmで中に流れる流体(水とします)の密度が1 g/cm^3 (1kg/m^3)であり、粘度が1 × 10^ -3 Pa・sであり、流量が3.0 × 10^-3 m^3/s で流れているとします。

 

この液体が曲がることなく300m移動する際の圧力損失儕と摩擦損失Fを計算してみましょう。

 

解答

 

ファニングの式は層流か乱流かで求める値が異なるために、まずレイノルズ数Reを算出する必要があります。

 

まず、平均流速u は V / (D^2 π / 4) であるために、値を代入して、u =  (3.0 × 10^-3 × 4) / ((50 × 10^-3 )^2 × 3.14 ) ≒ 1.53 m/sとなります。

 

Re = ρ u D / μ であるために (1 × 10^3) × (1.53 ) × (50 × 10^-3)  / 1 × 10^-3 = 76500である、乱流となります。

 

また Re ≦ 10^5 であるために、ブラシウスの摩擦係数を適用し、 f = 0.004756と求められます。

 

最後にファニングの式に摩擦係数等の各値を代入しまして摩擦損失Fを算出しましょう。

 

Ff =2 × 0.004756 × 1.53^2 × 300 / ( 50 × 10^-3) = 133.6  J/kgとなります。

 

摩擦損失の単位は上述のよう[J/kg]となることに気を付けましょう。

 

最後に圧力損失儕 = 摩擦損失F × 密度ρで計算できるため 儕 = 133.6 × 1 × 10^3 = 133.6 KPaとなります。

 

圧力損失の単位は [Pa]や[KPa]となることに気を付けましょう。

 

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