単蒸留とは？レイリーの式の導出と単蒸留の図積分を用いた計算問題【演習問題】
当サイトのメインテーマであるリチウムイオン電池は高電圧、高容量、高エネルギー密度、長寿命などのメリットがあるためスマホバッテリーや電気自動車搭載電池、家庭用蓄電池などの採用されています。
ただ近年ではスマホなどのリチウムイオン電池の発火事故が急増しており、リチウムイオン電池の安全性（危険性）が認識されるようになり、この安全性の向上がリチウムイオン電池普及のための課題の一つであるといえます。
IOT化が今後進むにつれ、リチウムイオン電池の重要性がより増してくるため、リチウムイオン電池に関する知識を増やすとより快適な生活が遅れるでしょう。
リチウムイオン電池だけでなく、製造業において化学工学の知識は不可欠です。例えば、リチウムイオン電池の製造工程としては、電極スラリーを混練する際の撹拌する力や与えるエネルギーの設計、電極スラリーを混練したあとの電極基材へ塗布した後のコーターでの乾燥条件の設計などに化学工学の知識が必要になる場合があります。
ここでは、化学工学における基礎である蒸留の中でも「単蒸留」について解説していきます。
単蒸留とは？
単蒸留（Simple Distilaation）とは、最もシンプルな蒸留方法です。学生実験などでも経験したことがある手法といえます。
単蒸留では、ある液体原料中の低沸点成分の濃度を少し高くしたい場合や実験レベルの少量の液体を蒸留にかけたい場合に使用します。つまり、産業的な精度が必要な蒸留ではなく、実験レベルの蒸留というイメージです。
単蒸留の原理（求め方）を以下で解説していきます。基本的には物質収支と低沸点成分の収支を考えることがポイントです。
単蒸留の原理（求め方）
蒸留したい液体の液量L1とし、この中の低沸点成分をx1とします。
蒸留後の液体の液量をL2とし、この中の低沸点成分をx2とします。
留出後の液量をDとし、この中の低沸点成分をxdとします。
そして、液量の収支（物質収支）と低沸点成分の収支を考え、連立方程式を解きます。
①液量収支 L1 － L2 = D
②低沸点成分の収支 L1x1 － L2x2 = Dxd
①、②の連立方程式を解きますと、Xd = （L1x1 - L2x2） / （L1 - L2） となり、留出液の情報を得ることができます。
ただ、この場合は、各種液量や組成がわかっていないと計算できないため、以下のレイリー（Rayleigh）の式から図積分を用いて算出する求め方もあります。
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単蒸留とレイリー（Rayleigh)の式 レイリーの式の導出
次に、レイリーの式と呼ばれる、気液平衡のデータから図積分を用いて留出量や留出組成を計算する方法について考えていきましょう。
もとの液量を前例と同様にLとし、低沸点成分の液組成をx、蒸気組成をyとし、xとyは気液平衡状態にあるとします。
気液平衡状態から、元の液量がdL分微小変化したとすると、液組成もこれに伴うdx変化、蒸気組成もdy変化します。
Lx = (L - dL) (x - dx) + (y-dy) dL という等式が成り立ちます。微小量同士の積の項は無視するとしますと、以下のように変形できます。
Lx = Lx - Ldx + (y-x) dL となり、 dL / L = dx / (y-x) となります。
境界条件として、液量L=L1（初期）とし、組成x =x1としまして上式の両辺を積分していきましょう。
すると ln (L1 / L) = ∫ dx / (y-x) （区間はxからx1）という式が成り立ち、この式がレイリー(Rayleigh)の式であり、上が導出過程です。
このレイリー(Rayleigh)の式は例題によって計算するとより理解が深まるために、以下の演習問題を解いてみましょう。
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単蒸留とレイリーの式の例題（演習問題）【Excelを用いて図積分してみよう】
それでは、レイリーの式を用いた演習問題を解いてみましょう。
例題
あるベンゼンの組成50mol%－トルエン組成50mol% の液体200gを単蒸留したとき、ベンゼンの残液中の組成は30mol%であったとします。この場合の留出量と留出液中のベンゼンの組成xdを計算していきましょう。
解答
ln (L1 / L) = ∫ dx / (y-x) （区間はxからx1）というレイリーの式において、初期の液体のmol数を考えていきます。
ます、混合溶液の平均の分子量を計算する必要があり、ベンゼンの分子量78とトルエンの分子量92に各々の組成をかけた和が平均分子量であるといえます。
78×0.5 + 92×0.5 = 85 g/molとなります。
つまり、混合溶液200gは 200 / 85 = 2.35mol = L1 となります。
次に右辺のインテグラルの項を計算したいのですが、直接の計算はできないために図積分を行います。
図積分とは、複雑な曲線を計算しやすい図形に細かく近似してその図形として積分することといえます。
右辺の曲線は以下の図のように複雑であるために、台形近似をして解いていきましょう（ただ気液平衡のデータがそろっていないと図積分はできません）。
ここで、ベンゼンの液組成xの組成が0.5、0.4、0.3の時は、1/(y-x)の値は各々4.67、4.44、4.61です。
これを台形近似して図積分しますと、
(4.67 + 4.44) × 0.1 × 1/2 + (4.44 + 4.61) × 0.1 × 1/2 = 0.908と台形の面積が計算できます。
ln (L1 / L) = ∫ dx / (y-x) （区間はxからx1）のレイリーの式の右辺が0.908であることを意味しており、
ln (L1 / L) = 0.908となります。
よって e^0.908 = L1 / L = 2.48となります。
上でL1が2.35molと計算していたため、 L = 2.35 / 2.48 =0.95 mol となります。
ここで、残液では残りの組成も変化しているため平均分子量も変化し、計算しなおすと、 0.3 × 78 + 0.7× 92 = 87.8となります。
よって L = 0.95 × 87.8 = 83.4gとなります。
つまり留出量Dは 200 - 83.4 = 116.6 gとなります。
最後にxd = (2.35 × 0.5 - 0.95 × 0.3 ) / (2.35 - 0.95 ) = 0.636となり、63.6mol%が留出液の組成であるといえます。
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