【材料力学】熱ひずみ・熱応力とは?導出と計算方法は?

【材料力学】熱ひずみ・熱応力とは?導出と計算方法は?

 

構造解析はあらゆるモノづくりの現場で利用されています。

 

構造解析を行う方法としては複雑なシミュレーションを行う場合はCAEを使用し、簡単に手計算で計算できるような場合は手計算を行います。

 

当サイトのメインテーマであるリチウムイオン電池においては、電池異常時に内圧が上昇した際のケースの変形や応力のシミュレーションする場合(大型の角型電池などにおいて)や異常時の安全弁の作動圧のシミュレーションをする場合などに使用します。

 

CAEを行うにしても、手計算を行うにしても材料力学の知識が必要であり、こちらのページでは材料力学の用語である「熱ひずみ」「熱応力」「線膨張係数」について解説しています。

 

・熱膨張の原理は?線膨張係数(熱膨張係数)と熱ひずみの関係は?

 

・熱ひずみを計算してみよう【演習問題】

 

・熱ひずみと熱応力の関係は?

 

・熱応力を計算してみよう【演習問題】

 

 

というテーマで解説しています。

 

 

 

熱膨張の原理は?線膨張係数(熱膨張係数)と熱ひずみの関係は?

樹脂などをはじめとした材料では、基本的に温度が上昇すると膨張し、温度が低下すると収縮します。
この現象は直感的にも理解できるでしょう。

 

この温度変化と部材の体積の膨張・収縮に関するパラメータとして、線膨張係数というものがあります。線膨張係数は熱膨張係数や熱膨張率とよぶこともあります。

 

この線膨張係数(熱膨張係数)は記号αで表されることが基本です。(このあたりは機械的な応力や弾性係数との関係と似ているといえます)

 

そして、線膨張係数(熱膨張率)の定義は以下の式の通りです。

 

 

基本的には弾性係数の考え方などと同様といえます。ここで熱膨張係数(熱膨張率)の単位は[1/K]となります。この線膨張係数は、物質によって値が異なり、金属の場合は10^-5~10^-6オーダーであることは基本です。

 

そして、上の式からもわかるように、線膨張係数(熱膨張係数)は熱ひずみと関係しています

 

線膨張係数を比例定数として、温度変化との積が、熱ひずみといえます。弾性係数(ヤング率)とひずみの関係と近いです。

 

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熱ひずみを計算してみよう【演習問題】

 

熱ひずみや線膨張係数(熱膨張率)の計算は実際に行うと理解がより深まります。以下の問題を解いてみましょう。

 

例題

 

材質が銅である材料の熱ひずみを考えていきましょう。線膨張係数は 16.5 × 10^6 [1/K]であるとするときの、温度が10℃→30℃に変化するときの熱ひずみと変形量を求めていきましょう。

 

元の長さLは1mであるとします。

 

解答

 

以下の定義に従います。

 


熱ひずみε = 16.5 × 10^-6 × (30 - 10) = 0.00033 となります。値が小さいため、桁数の間違いには気を付けましょう。

 

さらに、材料の変化量 ⊿L = ε × L = 0.00033 × 1000 = 0.33mm 分膨張したということがわかります。

 

(上で1mを1000mmとして変化しています。)

 

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熱ひずみと熱応力の関係は?

次に、熱ひずみと関係する用語として、熱応力とよばれるものがあります。

 

先にも述べたように、材料が固定されていない状態では熱ひずみと呼ばれる材料の変形が起こります。一方で両端を固定している状態では、変形をさせまいとして固定部からの外力が加わります。

 

この力のことを熱応力と呼びます。

 

熱ひずみと弾性ひずみが一致するという以下の導出より、熱応力が定義されます。

 

熱ひずみでは α ⊿T が、弾性ひずみでは P / AE (Pは圧力、Aは断面積、Eは弾性係数(ヤング率)が発生し、これらが一致すると考えます。

 

結果として、以下の式が導かれます。熱応力の定義はヤング率と同じPaとなります。

 


ここで、熱応力の値が正となるときは物体が膨張したときであるため、圧縮応力がかかります。
一方、熱応力が負の値であるときは収縮しているため、逆に引張応力がかかります。

 

以下の計算問題を解いて理解を深めましょう。

 

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熱応力を計算してみよう【演習問題】

例題

 

材質が銅である材料の熱応力を考えていきましょう。線膨張係数は 16.5 × 10^6 [1/K]、縦弾性係数(ヤング率)は200GPaであるとするときの、温度が10℃→30℃に変化しするときの熱応力を求めていきましょう。

 

元の長さLは1mであるとし、材料の両端は壁に固定されているとします。先にも示した以下の図のようなイメージです。

 

 

解答

 

以下の定義に従います。

 

 

熱応力σ = 200 × 10^9 × 16.5 × 10^-6 × (30 - 10) = 66.4MPa となります。値が大きいため、桁数の間違いには気を付けましょう。

 

(上で1MPaを1000000Paして計算しています。)

 

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