推測統計学とt分布

推測統計学とt分布

 

このページでは、推測統計学とt分布について解説します。
 

推測統計学

ある標本データをもとに母集団のデータ(例えば母集団の平均、分散、標準偏差等)を推定する学問を推測統計学と呼びます(標本と母集団についてはこちらで解説しています)。

 

実際のケースでは少ないのですが、

 

@私たちが取得する可能性の高い小規模標本データ(厳密には定義されていませんがn=50以下と仮定します)の他に母集団の分散があらかじめ分かっている場合

 

A大規模の標本データを収集できる場合(厳密には定義されていませんがn=50以上と仮定します)

 

は、正規分布から母集団のデータを推定することができます(正規分布はこちらで解説しています)。

 

しかし、私たちが実験やアンケートを行い、得られるデータ(標本データ)は通常小規模で、かつ母分散がわからない場合が多いです。

 

この場合は正規分布ではなくt分布と呼ばれる分布から母集団のデータを推定します(t分布を使用した方が近似値と母集団の値が一致しやすい)。

 

 

t分布

t分布は2群のデータ間の有意性を判断するt検定など、広く使用される分布であるため、重要です。

 

さらに検定では信頼区間の推定をベースに考えているため、標本平均の各種変量に着目します。
(信頼区間の推定と標本平均の関係についてはこちらで解説しています)。

 

標本平均の各変量の一つであるt値は、以下の式の通りであり、このt値から構成される分布がt分布です。特にt値は準標準化変量と呼ばれます。(母標準誤差、不偏標準偏差、標本標準偏差等の解説はこちらでしています)

 

 
標本のデータ数が少なく、母集団の標準偏差が未知の場合は、標本データから母集団を予想する不偏標偏差を使用します(上述しましたように、私たちが実験やアンケートを行い、得られるデータ(標本データ)は通常小規模で、かつ母分散がわからない場合が多いため、この値を使用します)。

 

また、上式t値への変換イメージを下記に示します。正規分布に従うデータにおいて、x軸をxからxに変換すると対応するσ(母標準偏差も不偏標準偏差も)が1/ルートn倍となります(詳細はこちらで解説しています)。

 

この値の、不偏標準偏差を標準偏差に置き換え、ルートnをルートn-1に置き換えたものがt値です。

 

 

 

標本平均のz値ととても似ていますね。z値では母集団の分散が既知であるため不偏分散を使用しないことが相違点です。( z値についてはこちらのページで解説)。

 

t分布は下図のように標準正規分布よりも、確率変数0付近の値は標準正規分布よりも小さく、逆に確率変数が±3付近より絶対値が大きい部分ではt分布の方が値が大きいです。
また、自由度が上がるほど標準正規分布に近づきます。

 

 

Excelでt分布を作成してみよう

Excelを使用して、t分布を作成してみましょう。

 

ここでは、T.DIST関数を使用した方法を解説します。

 

@t値の列を作成します(-4〜4まで、0.1刻みで作ってみましょう)。

 

A各t値に対応する関数を入力します(f(t))。

 

下図のように =T.DIST(対応するt値、FALSE - 確率密度関数)を入力します。
(確率密度関数と累積密度関数についてはこちらで解説しています)

 

(ちなみに、右側(上側)確率を算出したい場合はT.DIST.RT関数、両側確率を算出したい場合はT.DIST.2T関数を使用します。)

 

 

 

ドラッグし、すべてのt値に対応するt分布の関数を表示させて、グラフにすると完成です!

 

 

 

 

 

また、当サイトのメインテーマであるリチウムイオン電池、電気化学関連の用語は以下でまとめています。

 

興味がある方は参考にしてみてください。

 

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