信頼区間の推定

信頼区間の推定

 

このページでは、統計学において重要な考え方である信頼区間の推定について解説します。

 

信頼区間の推定自体も大事な考え方ですが、統計的検定でもこの考え方がベースにあるため、きちんと理解しましょう。

 

こちらのページでは、

 

・信頼区間推定の原理

 

・信頼区間の推定の手順(母分散が既知の場合)

 

・信頼区間の推定の手順(母分散が未知の場合)

 

について解説しています。

 

 

信頼区間推定の原理

 

ある分布に従うデータの情報を報告する場合、平均値だけでなく幅を持たせて報告するケースも多いでしょう。(こちらで例をあげました魚の質量の例ですと、平均値は5kgで95%の確率で範囲3.5kg~6.5kgに入っていますという具合に)。

 

その範囲を報告する場合の元になっている考え方(母集団を推定すること)が信頼区間の推定です。

 

正規分布に従う標本データの信頼区間の推定について考えていきます(正規分布はこちらで解説しています)。

 

ある標本で平均値がx1バーとなったとします。

 

この値を中心として正規分布し、データの99%(今回仮に決めています)が入ると考えられる範囲が、信頼区間です(下図2.57という係数は標準正規分布表のより信頼係数99%の値を読み取ったものです。指定する信頼係数や分布表により変化します)。

 

そして、99%(今回仮に決めた値です)のことを信頼係数と呼びます。

 

信頼係数は95%を使用することが多いですが、さらに厳しく判定したい場合は99%を使用するなど、用途により私たちが指定します。

 

信頼係数の意味は、標本を繰り返し取得し標本平均の値が各標本で変化する場合でも、99%(今回仮に決めた値)の確率で母平均が各標本の信頼区間の中に収まっていることを示します。

 

 

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信頼区間の推定の手順(母分散が既知の場合)

上記の例を用いて、信頼区間の推定を行ってみましょう(正規分布に従うと仮定)。
今回のケースでは、ほとんど起こらない状況ですが母分散が既知である場合を考えます。

 

①信頼係数の決定:上記例に合わせ信頼係数99%を使用するとします。
             (実際は自分で判断したい値を決めます)

 

②自由度を算出します:データ数nが自由度です(母標準偏差が既知の場合)。
 (t分布など、不偏統計量を使用する場合はn-1が自由度です(t分布はこちらで解説しています))。

 

③標準正規分布表を見て、σの前の係数を見つけます。(t分布表の場合は自由度も関係します)。
 (信頼係数99%では、2.57となります)

 

④数式化します。

⑤標本平均X1バーと母標準偏差σの値を代入したら、推定完了です!
(※上の流れは標準化された変量に関しても同等の処理で推定が可能です。)

 

 

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信頼区間の推定の手順(母分散が未知の場合)

上の例では、母分散がなぜかわかっているという稀なケースを解説しました。

 

大半のケースでは、母分散がわからないため、不偏推定量を用いた推定(つまりt分布に従う)を行います。
(使用する分布や自由度が異なるだけで、流れはほとんと同じです)

 

①信頼係数の決定:今回は信頼係数95%を使用するとします(実際は自分で判断したい値を決めます)。

 

②自由度を算出します:データ数n-1が自由度です(母標準偏差が未知で不偏統計量を使用する場合)。
               (今回は自由度が6であるとしましょう)

 

③t分布表を見て、σの前の係数を見つけます。t分布は平均が0、σが1と規定された分布ですので、
 係数がそのまま下記数式に入ります(自由度が6における信頼係数95%では、2.447となります)。

 

④数式化します。

ここに、下記t値を代入し、母平均の区間を中心に持ってきますと、

下記式のように整理されます。

 

⑤標本平均Xバーと標本の標準偏差sの値を代入したら、推定完了です!

 

 

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また、当サイトのメインテーマであるリチウムイオン電池、電気化学関連の用語は以下でまとめています。

 

興味がある方は参考にしてみてください。

 

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