【ハ-ゲンポアズイユの定理】円管における層流の速度分布を計算する方法

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【ハ-ゲンポアズイユの定理】円管における層流の速度分布を計算する方法

 

ここでは化学工学の中でも、流体に関する考え方である「ハーゲンポアズイユの定理を用いて円管内の層流の速度分布を計算する方法」について解説していきます。

 

・ハーゲンポアズイユの定理を用いて円管内の層流の速度分布の導出・計算する方法

 

・速度分布の計算のために初期条件、境界条件を考える

 

というテーマで解説していきます。

 

 

ハーゲンポアズイユの定理を用いて円管内の層流の速度分布の導出・計算する方法

 

流体力学の基礎の考え方として重要なものに、円管内を流れる流体が層流である場合の速度分布が挙げられます。

 

層流とはこちらでも詳しく解説していますが、流体の流れが比較的穏やかである場合に規則正しい流体の流れとなります。この状態を層流と呼び、規則性があるために速度分布を計算できるのです。

 

ここでは、円管内の層流の速度分布を導出していきましょう。

 

以下のよう、ある円管内を流れる流体(ニュートン流体)の一部を抜き出して考えていきます。この速度分布を導出していくための、一部のモデルのことを検査体積と呼びます。

 


この検査体積にかかる力には、流体の入り口と出口の圧力の差の分の力と、流体にかかるせん断力があります。

 

つまり、これらの力全体を考慮して、検査体積にかかる力の釣り合いを考えるといいのです。ここで、検査体積としては、管の形と併せて円筒形で考えるのが基本です。

 

なお、検査体積の具体的なサイズは半径r、長さLの円筒モデルとします。

 

 

このとき、入口の圧力をP入、出口の圧力をP出とし、せん断応力をτとし力の釣り合いを考えます。

 

すると、円の面積πr^2 × P入 =円の面積πr^2 × P出 + 円の側面積 2πrL × せん断応力τ という力の釣り合いの式が成立します。

 

 

ここで、圧力差P入 - P出=⊿Pとおくと、 πr^2⊿P=2πrL × τ ・・・①となります。

 

さらに、ニュートン流体を仮定しているためにニュートン粘性の法則が適用できます。

 

 

ここで、円管であるため、上式yにはrが適用されることを考慮しますと、 ここでニュートン粘性の法則では正の向きによって符号が+の場合と-の場合があり、今回の場合は円管の出口から入口に向かう力となるため、-の符号をつけた「τ = - µ du/dr 」を採用します。

 

上の①式に代入しますと、 πr^2⊿P=2πrL × τ ⇔ πr^2⊿P=2πrL × (-µ du / dr)となります。

 

これを整理していくと、 r⊿P = -2Lµ × du/drとなります。

 

さらに変形させ、積分しやすい形にすると、 r dr = - 2Lµ / ⊿P du となります。

 

ここで両辺を0から任意のrまで積分すると、 r^2 /2 = - 2Lµ / ⊿P (u + C)⇔ (u + C) = - ⊿P / 4Lµ r^2 となるわけです。

 


ここまで、円管内の速度分布の導出のための式変形ができました。

 

最後の詰めをしていきます。

 

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速度分布の計算のために初期条件、境界条件を考える

 

後は、上の式の定数項を確定させるために、境界条件を考えていきます。

 

実際の円管の半径がRであるとすると、管壁(r=R)では速度uが0となります。この境界条件を上式に組み込んでいきましょう。

 

すると、C=- ⊿P / 4Lµ R^2   となります。

 

よって、u = ⊿P / 4Lµ (R^2 - r^2)= ⊿PR^2 / 4Lµ (1 - (r/R)^2)となるのです。

 

 

なお、r=0のとく最大流速となり、umax=⊿PR^2 / 4Lµ となります。

 

速度分布の導出は基本的に力の釣り合いと式変形のみで処理できるので、きちんと理解しておきましょう。

 

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