コンデンサーを直列接続したときの静電容量の計算方法【演習問題】
こちらのページでは高校物理における電磁気学の中でも、直列時のコンデンサーの合成に関する内容について解説していきます。
・コンデンサーの直列回路における容量の求め方と導出方法 合成容量の計算
・コンデンサーを直列にした場合の合成容量の計算問題を解いてみよう
・コンデンサーは直列接続すると容量が小さくなる この理由は？
にというテーマで解説しています。
コンデンサーの直列回路における容量の求め方と導出方法 合成容量の計算
結論から言いますと、コンデンサーの直列つなぎにおける合成容量は、1/C合成 = (1/C1) + (1/C2) という計算式で表されます。
この結果を導くための過程を以下で確認していきます。
以下のように、電圧Vがかかっている直流電源と二つのコンデンサーを含む回路があるとします。
すると、電源のプラスにつないである電極にはプラスの電荷が集まります。一方で、直流電源のマイナスに接続した別のコンデンサーの極板には、マイナスの電荷が溜められます。
そして、各々のコンデンサーのもう一方の電極には、向かい合う電極と異なる符号である電荷が静電誘導現象によって引き寄せされてくるのです。
以下の通りです。
ここで、各々の局番にたまっている電荷の大きさをそれぞれQ1、Q2としましょう。
このとき、電源とつながっているコンデンサーの電極には+Q1[C]が、その対抗する板には－Q1[C]という大きさの電荷が集まっていることとなります。
同様にもう一方のコンデンサーであっても、直流電源のマイナスにつながる方には－Q2[C]が向かい合う極板には、＋Q2[C]がたまります。
このとき、間の孤立した電極間では閉回路であるため（島になっている）、合計すると必ず電荷が0となっています。つまり、電気的に中性となっている状態です。
よって、－Q1= ＋Q2であることから、Q1=Q2＝Qとなるわけです。
次に各々のコンデンサーの静電容量、電圧、電荷の関係を考えていきます。静電容量の計算式から、Q=CV、V=C/Qの関係式を上式に代入します。
コンデンサ1の容量と電圧をC1、V1、コンデンサ2の容量と電圧をC2,V2とすると、V1＝Q/C1、V2＝Q/C2とう関係式が成立します。
ここで、コンデンサーの直列つなぎの回路全体の電圧に着目するとV＝V1+V2という式が成り立ちます。
このV1,V2に上式を入力しますと、V = Q ( 1/C1 + 1C2)・・・① となります。ここで、コンデンサーの合成容量をC合成としますと、V=Q/C合成・・・② という式が導出されます。
①②式を比較しますと、コンデンサーの合成容量は(1/C合成)＝(1/C1 + 1/C2)となるのです。もう一度記載しておきます。
直列つなぎの抵抗の合成では、単純に和をとれば良かったため、抵抗とコンデンサーでは逆であると覚えておくと、簡単に見分けられるようになります。
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コンデンサーを直列にした場合の合成容量の計算問題を解いてみよう
それでは、理解を深めるためにも、コンデンサーの直列接続における静電容量の合成の問題を解いてみましょう。
例題
コンデンサー1の容量が5μF（マイクロファラッド）、もう一方のコンデンサー2の静電容量が10μFであるときに、直列に合成したコンデンサーの合成容量を計算してみましょう。
解答1
上述でも解説したように、コンデンサーの直列回路では、逆数の和をとることで静電容量の合成ができます。
よって、(1/C合成)=（1/5）+(1/10) =0.3 より、コンデンサーの直列つなぎにおける静電容量（キャパシティ）は3.33μFとなるのです。ただこの値は、元のコンデンサー二つの値よりも小さくなっています。
これはなぜなのでしょうか。
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コンデンサーは直列接続すると容量が小さくなる この理由は？
このように、コンデンサーの直列回路における容量は、直列数が増えるほど低くなります。この直列時に静電容量が減少するメカニズムは、コンデンサーの容量と極板間距離の関係から理解できます。
静電容量と極板距離の関係は、以下の計算式で結び付けられます。
ここで、直列に合成した場合では、単純に電極間が大きくなったときと同じ状態になります。つまり、各々の電極間の幅がd1,d2であったとすると、合成後の距離はd1+d2となります。
よってコンデンサーの静電容量と極板間距離は反比例の関係にあるため、その容量は減少するのです。
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