レナードジョーンズポテンシャル 極小値の導出と計算方法【演習問題】

レナードジョーンズポテンシャル 導出と計算方法【演習問題】

 

ここでは、このレナードジョーンズポテンシャルに関する以下のテーマで解説していきます。

 

・レナードジョーンズポテンシャル 式とグラフは?

 

・塩橋の役割と入れる理由

 

というテーマで解説していきます。

 

 

レナードジョーンズポテンシャル 式とグラフは?

 

レナード-ジョーンズポテンシャルとは、分子間相互作用の一種であるファンデルワールス力を数式でまとめたものといえます。このとき、分子を剛体球に見立てて考えられたものであるため、そのポテンシャルエネルギー(相互作用)のことを剛体球ポテンシャルというときもあります。

 

ファンデルワールス力とは、電荷をもたない電気的な中性の分子同士に働く相互作用をまとめたものです(詳細はこちらにて解説しています)。

 

このファンデルワールス力は、①二つの分子同士が近づいたケースでは物質に含まれる電子同士が反発すする斥力が強く働くことと ②「双極子-双極子間相互作用による引力」「双極子-誘起双極子間相互作用による引力」「分散力(誘起双極子ー誘起双極子間の瞬間的な相互作用)による引力」に大きくわけられます。

 

そして、このファンデルワールス力を数式にまとめたものがレナード-ジョーンズポテンシャルであり、以下のように定義されます。

 


この前半の項が電子の反発力である斥力を表しており、一方で各種引力をまとめたものが後の項を表しています。

 

つまり、斥力は分子間距離の12乗に反比例し、一方で引力が分子間距離の6乗に反比例します。

 

 

 

極小値においては、ポテンシャルエネルギーが低い、つまり安定しているということがいえます。そのため、分子間の相互作用がこれらの分子間において最も高い位置であるといえます。

 

二つの分子間の種類などによって、極小値をとるrの値は変化します。

 

ポテンシャルエネルギーが0となるときのrをr0とするとき、実は極小値をとるときのr0はr=2^1/6 roと表すことができます。それでは、なぜこの値で極小となるのでしょうか?

 

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レナードジョーンズポテンシャルの極小値の計算を行ってみよう!【演習問題】

 

それでは、具体的に極小値をとるときのr0はr=2^1/6 roとなる理由について考えていきましょう。

 

上の式をUをrで微分していきましょう。

 

すると、以下のような変形をたどっていきます。

 


最後の項に着目し、r=2^1/6 r0のときdU/drが0となります。つまり、このとき極小をとります。

 

そして、極小時にポテンシャルエネルギ-に代入して計算するとU = -εという結果が導出されます。

 

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