抵抗が3つ以上の並列回路、直列回路の合成抵抗 計算問題をといてみよう


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抵抗が3つ以上の並列回路、直列回路の合成抵抗 計算問題をといてみよう

 

物理の問題が解けるようになるには。基礎の部分をきちんと理解しておくことが大事です。

 

中でも電磁気学における基礎的な内容はさまざまありますが、抵抗の合成に関する問題は頻出です。

 

ここでは、特に抵抗を3つ使用する場合の並列時、直列時の抵抗の合成に関する内容について解説していきます。

 

 

・並列に3つの抵抗がつながれたときの合成抵抗の導出

 

・3つの抵抗を並列接続時の合成抵抗の計算してみよう

 

・直列に3つの抵抗がつながれたときの合成抵抗の導出

 

・3つの抵抗を直列につないだときの合成抵抗を計算してみよう

 

というテーマで解説していきます。

 

 

並列に3つの抵抗がつながれたときの合成抵抗の導出

 

二つの抵抗を直列接続、並列接続した際の合成抵抗についてはこちらで解説していますが、ここでは3つの抵抗を並列つなぎにした場合の合成抵抗の計算方法について解説していきます。

 

結論から言いますと、並列に抵抗をつないだとしても合成抵抗の式は二つのときの合成抵抗の形と似ており、以下のようになります。

 


この関係式を導出していきます。

 

まず、以下のような抵抗値がR1,R2,R3の抵抗があるとします。

 

ここで電気回路には、これらを3つ並列につないだ抵抗と電源のみがあるとします。このときの電源の電圧をVとすると、閉回路を形成しているため、これらの抵抗各々には電圧Vが印加されます。

 

以下のような状態です。

 

 

このとき、電源に流れ込む電流値をIとし、抵抗への電流値をI1、I2、I3としたすると、I=I1+I2+I3・・・① という関係式が成りたちます。

 

さらに、オームの法則より、V=IR合=I1R1 = I2R2 = I3R3・・②という式が成り立ちます。

 

 

これを変形すると I = V/R合 、I1 = V/R1 、I2 = V/R2、I3 = V/R3 となります。①式に代入し、両辺をVでわると、 1/R合 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 という関係式が導出されるのです。

 

 

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3つの抵抗を並列接続時の合成抵抗の計算してみよう

 

それでは、3つの抵抗を並列接続時の合成抵抗の計算問題も解いてみましょう。

 

例題

 

抵抗の数値が1Ω、2Ω、4Ωの製品を並列接続した場合の合成抵抗を算出してみましょう。

 

解答

 

上の定義式に従って計算していきましょう。

 

1/R合 = 1/1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 となります。よってこの逆数をとればいいので、合成抵抗 R合=4/7 Ωとなるのです。

 

並列に抵抗を合成すると、その数値が低くなることを理解しておきましょう。

 

 

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直列に3つの抵抗がつながれたときの合成抵抗の導出

 

続いて、3つの抵抗を直列つないした場合の合成抵抗も同様に求めていきましょう。

 

結論から言いますと、直列接続した際の合成抵抗の式は二つの抵抗を直列につないだときの合成抵抗と形と似ており、以下のようになります。

 

 

抵抗の数が何個になっても、単純和をとればいいのです。

 

この関係式について、導出をしておきましょう。

 

以下のような抵抗値がE1,R2,R3の抵抗があるとします。

 

電気回路には、これらの抵抗と電源のみがあるとします。このときの電源の電圧をV、流れる電流値をIとしましょう。

 

閉回路であるため、各々の抵抗に流れる電流の大きさはすべてIとなり、これらの総電圧がVに対応することとなります。

 

 

各々の抵抗にかかる電圧をV1、V2、V3とすると、V1=IR1、V2=IR2、V3=IR3 となります。同時にV=V1+V2+V3という式も成立するのです。

 

 

よって、合成抵抗をR号とするとV=IR合=I(R1+R2+R3)であるため、R合=R1+R2+R3となるのです。

 

 

直列つなぎの抵抗の合成では、単純に各抵抗の値を足すだけということを理解しておきましょう
(なお、コンデンサーばねの合成とは直列と並列の性質が異なりますので、注意しましょう)。

 

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3つの抵抗を直列につないだときの合成抵抗を計算してみよう

 

それでは、3つ抵抗を合成したときの計算になれるためにも、計算問題をといてみましょう。

 

例題

 

それでは、3つの抵抗を直列接続時の合成抵抗の計算問題もといてみましょう。
抵抗の数値が1Ω、2Ω、4Ωの製品を直列につないだ場合の合成抵抗を算出してみましょう。

 

解答

 

上の定義式に従って計算していきましょう。

 

抵抗を直列時の合成抵抗なので、単縦に足し合わせていきましょう。

 

R合=1+2+4=7Ωとなります。

 

直列に抵抗を合成すると、その値が下がることを理解しておきましょう。

 

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