単振動における運動方程式と周期の求め方【計算方法】

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単振動における運動方程式と周期・角振動数の求め方【計算方法】

 

高校物理における力学の分野では、単振動に関する問題は良く出てきます。

 

ここでは、単振動の中でもよく運動方程式を立式する過程について聞かれる問題や、その周期や角振動数を求める問題が頻出です。

 

ここでは、これら単振動における運動方程式とそこから周期、角振動数の計算方法について解説していきます。

 

・単振動における運動方程式と周期・角振動数の求め方【計算方法】

 

というテーマで解説していきます。

 

(※単振動の基本の概念や変位、速度、加速度の関係はこちらで解説しています)

 

 

単振動における運動方程式と周期・角振動数の求め方【計算方法】

 

単振動の基本のページでも記載しましたが、単振動において復元力はF=-kxで表されます。

 

このF=-kxという式を用いて単振動の運動方程式を立てていきますが、基本的にパターン問題が多いのでたくさんの問題に触れて慣れておくことが大事です。

 

運動方程式F = ma における Fに-kxを代入していきますと、 -kx = ma という式が導出されます。

 

 

さらに、加速度と変位の関係式 a=-ω^2 xという式を上の運動方程式内に入れていきます(単振動における変位と加速度の関係の導出はこちらで記載しています)。

 

すると、-kx = -mω^2 x  となるわけです。両辺の-とxを除去しますと、k = mω^2 となります。

 

よって、角振動数を定数kと質量mを用いることで、ω = ルート(K / m)と導出されるのです。

 

 

さらに角振動数と周期の関係は、1周期で2π分動(360°)動くことから、 ωT= 2π となり、このωにルート(K / m)を入れていけばいいのです。

 

よって、周期T=2πルート(m / k)となるのです。

 

 

このとき、角振動数のルートの中身と、周期のルートの中身は逆数の関係になっていることを覚えておくといいです。なお、どっちがどっちかわからなくなったら、上述の導出方法を理解しておけばすぐに思いだすことができます。

 

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